Расчет стальных балок на кручение – Расчет балки на прогиб ℹ️ построение эпюр, формулы, параметры расчетов, определение максимальной нагрузки и изгиба, примеры решения задач, онлайн-калькулятор

Расчет на кручение балочных и рамных систем из тонкостенных составных стержней на планках

Предисловие 4
Часть первая. Тонкостенные однопролетные и консольные балки из составных стержней на планках 9
Глава I. Основные положения 9
§ 1. Тонкостенные стержни открытого и замкнутого поперечных сечений 9
§ 2. Чистое и стесненное кручение тонкостенных стержней 9
§ 3. Гипотезы, положенные в основу расчета открытых и замкнутых тонкостенных стержней 11
§ 4. Краткие сведения из теории чистого кручения одиночных тонкостенных стержней 11
§ 5. Экспериментальная проверка чистого кручения 14
§ 6. Чистое кручение составных стержней без планок 15
§ 7. Краткие сведения из теории стесненного кручения открытых прямолинейных одиночных тонкостенных стержней 16
Глава II. Стесненное кручение составных стержней на планках 24
§ 8. Стесненное кручение составных тонкостенных стержней без планок 24
§ 9. Построение эпюр главных секториальных площадей и вычисление секториальных моментов инерции для составных стержней без планок 30

§ 10. Изгибно-крутильные факторы, связанные с депланацией сечений составных стержней без планок 46
§ 11. Дифференциальное уравнение равновесия 51
§ 12. Кручение составных тонкостенных стержней на жестких планках 54
§ 13. Расчет на кручение составных тонкостенных стержней с учетом упругих деформаций планок в своей плоскости 71
§ 14. Приведенная крутильная жесткость составных тонкостенных стержней на упругих планках 92
Часть вторая. Балочные и рамные системы из составных тонкостенных стержней на планках 103
Глава III. Расчет конструкций из тонкостенных стержней на планках 103

§ 15. Однопролетные составные тонкостенные балки с консолями 103
§ 16. Неразрезные составные тонкостенные балки 106
§ 17. Расчет рам методом сил 108
§ 18. Расчет рам методом перемещений 123
Заключение 134
Приложения 138
Литература 148
Оглавление 150

Формулы для расчетов на кручение

τ — касательные напряжения,
T – внутренний крутящий момент,
I_p – полярный момент инерции сечения вала,
W_p – полярный момент сопротивления сечения,
[τ] – допустимое напряжение,
G – модуль упругости II рода (модуль сдвига),
ρ — расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки,
D – внешний диаметр вала,

d – внутренний диаметр вала кольцевого сечения.

Закон Гука при кручении (чистом сдвиге)

Расчет касательных напряжений в произвольной точке сечения вала

Условие прочности при кручении (проверочный расчет)

Формулы полярных моментов инерции и сопротивления

• для вала сплошного (круглого) сечения
  
• для вала кольцевого сечения
  

Формулы для подбора диаметра вала по условию прочности

• сплошное круглое сечение
  
• кольцевое сечение
  

Абсолютные деформации (угол закручивания участков вала)

Перемещение (угол поворота) сечений.

Здесь: φ_i — угол поворота рассматриваемого сечения,

φ_i-1 — перемещение предыдущего сечения,

Другие формулы >
Примеры решения задач >
Краткая теория >

Как определить крутящий момент в балке

При расчете сборных или монолитных железобетонных балок (ригелей) всегда нужно внимательно относиться к крутящему моменту. Очень часто расчет на кручение требует увеличить сечение или армирование балки. Сечение балки при кручении эффективней увеличивать в ширину (увеличение балки по высоте дает малый эффект), оптимально при кручении уходить от прямоугольного сечения к квадратному.

В каких ситуациях в балке возникает крутящий момент?

1) Если на балку опирается перекрытие только с одной стороны – оно своим весом пытается крутить балку в сторону пролета перекрытия.

2) Если на балку опирается перекрытие с двух сторон, но пролет этих перекрытий разный – тогда нагрузка от перекрытия с большим пролетом перевешивает в свою сторону и крутит балку.

3) Если на балку опирается перекрытие равных пролетов, но нагрузки на этих перекрытиях отличаются (разное назначение помещений, наличие оборудования на перекрытии и т.п.) – тогда балка также прокручивается в сторону большей нагрузки.

4) Если вдоль балки действует вертикальная нагрузка (например, от веса перегородки), сбитая в сторону от оси балки.

Рассмотрим определение крутящего момента на примерах.

Пример 1. Монолитное балочное перекрытие. Необходимо определить крутящий момент в крайней балке. Суммарная нагрузка от веса монолитного перекрытия и всех нагрузок на нем равна: qн = 675 кг/м² (нормативная) и qр =775 кг/м² (расчетная).

Расчет ведется на 1 погонный метр балки.

В монолитном перекрытии связь перекрытия с балками жесткая. При такой схеме расчетный пролет перекрытия равен пролету плиты в свету между балками L₀ = 2,8 м, а нагрузка от плиты на балку передается в месте примыкания балки к перекрытию.

Найдем нагрузку на 1 п.м балки от половины пролета плиты 2,8/2 = 1,4 м:

Рн = 675∙1,4 = 945 кг/м;

Рр = 775∙1,4 = 1085 кг/м.

Крутящий момент в балке рассчитывается умножением вертикальной нагрузки на эксцентриситет – расстояние от оси приложения этой нагрузки до оси, проходящей через центр тяжести балки. В нашем случае эксцентриситет равен половине ширины балки, т.е. 100 мм = 0,1 м.

Итак, определяем крутящий момент в балке (на 1 п.м балки):

Мн = 945∙0,1 = 94,5 кг∙м/м;

Мр = 1085∙0,1 = 108,5 кг∙м/м.

Пример 2. Сборное перекрытие опирается на балку с двух сторон. С одной стороны пролет перекрытия 6 м и есть пригруз в виде перегородки, опирающейся параллельно балке; с другой стороны пролет перекрытия 3,6 м. Нагрузка от перегородки  0,65 т/м, расстояние от оси балки до перегородки 1,5 м. Нагрузка от собственного веса перекрытия 0,3 т/м². Нагрузка на перекрытии: постоянная 0,1 т/м²; временная 0,3 т/м². Ширина балки 0,3 м. Глубина опирания плит перекрытия на балку 0,14 м.

Расчет ведется на 1 п.м балки.

Определим расчетный пролет каждого перекрытия и найдем точку приложения нагрузки от перекрытия на балку.

Плита опирается на балку на 140 мм. Нагрузка от плиты на этой площади распределена не равномерно, а по треугольнику. Максимально плита давит со стороны пролета (с края балки), а к краю плиты нагрузка сходит к нулю. Чтобы привести эту распределенную нагрузку к сосредоточенной, нужно принять ось приложения этой сосредоточенной нагрузки – в центре тяжести треугольника, на расстоянии 1/3 от края балки. У нас получается, что расстояние от края балки до сосредоточенной нагрузки 140/3 = 47 мм, а расстояние от этой нагрузки до оси, проходящей через центр тяжести балки 150 – 47 = 103 мм. Расстояние между сосредоточенными нагрузками равно расчетному пролету плиты L₀, который для наших плит будет равен:

— для плиты 6 м: L₀ = 6000 – 2∙103 = 5794 мм;

— для плиты 3,6 м: L₀ = 3600 – 2∙103 = 3394 мм.

Построим эпюры поперечных сил для наших плит.

Равномерно-распределенная нагрузка на 1 погонный метр плиты равна:

— нормативная qн = 1∙(0,3 + 0,1 + 0,3) = 0,7 т/м;

— расчетная qр = 1∙(1,1∙0,3 + 1,1∙0,1 + 1,2∙0,3) = 0,8 т/м.

Сосредоточенная нагрузка от перегородки на плите Nн = 0,65 т/м (нормативная) и Nр = 1,1∙0,65 = 0,72 т/м (расчетная) находится на расстоянии 1500 мм от оси балки и на расстоянии 1500 – 103 = 1397 мм от принятой нами точки опоры плиты, через которую проходит ось передачи вертикальной нагрузки на балку.

Схема для нормативных нагрузок будет следующая (так как плиты опираются шарнирно, то каждую из них нужно посчитать по отдельной схеме):

Левая плита разбита на два участка: 1-2 и 2-3, правая плита представляет собой один участок 4-5.

В правой плите мы сразу можем найти значения поперечной силы:

Q = 0,5∙qL₀ = 0,5∙0,65∙3,394 = 1,1 т.

Построим эпюру для правой плиты:

Значение поперечной силы на опоре (в точке 4) равно искомой нагрузке, которую плита передает на балку: Р₄= 1,1 т (направлена вниз).

Теперь разберемся с эпюрой для левой плиты. Так как помимо распределенной нагрузки у нас есть сосредоточенная сила, у нас будет несколько больше операций.

Для удобства расчета левой плиты заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей силой N:

N_1-2 = 0.65∙4,397 = 2,86 т;

N_2-3 = 0,65∙1,397 = 0,91 т.

Зная, что в шарнирно-опирающейся плите моменты на опоре равны нулю, составим уравнение равновесия, чтобы найти реакции на опоре.

ΣМ₁ = 0:

2,86∙2,199 + 0,65∙4,397 + 0,91∙5,096 – R₃∙5,794 = 0, откуда найдем реакцию:

R₃ = -13.78/5,794 = 2,38 т.

ΣМ₃ = 0:

0,91∙0,698 + 0,65∙1,397 + 2,86∙3,595 – R₁∙5,794 = 0, откуда найдем реакцию:

R₁ = 11,82/5,794 = 2,04 т.

Строить эпюру поперечных сил в плите для определения крутящего момента в балке нам не нужно, т.к. найденная нами реакция на опоре R₃ равна максимальной поперечной силе и равна нагрузке, передаваемой плитой на балку:

Р₃= 2,38 т (направлена вниз).

Теперь у нас есть все исходные данные для определения крутящего момента.

Определим нормативный крутящий момент путем умножения сил на плечо. Принимаем силу, вращающую балку против часовой стрелки со знаком «+», а по часовой – со знаком «-«:

Мн = 2,38∙0,103 – 1,1∙0,103 = 0,13 т∙м/м – нормативный крутящий момент, приходящийся на 1 п.м балки.

Расчетный крутящий момент находится точно так же.

Пример 3. Вдоль балки расположена перегородка, которая сбита относительно оси балки на 150 мм. Перекрытие опирается на балку с двух сторон, пролеты перекрытия и нагрузки – одинаковые. Толщина перегородки 0,12 м, материал кирпич (1,8 т/м³), высота 3 м.

Расчет ведем на 1 погонный метр балки.

Определим вертикальную нагрузку от перегородки:

0,12∙3∙1,8 = 0,65 т/м – нормативная нагрузка;

1,1∙0,65 = 0,72 т/м – расчетная нагрузка.

Определим крутящий момент в балке путем умножения силы на плечо:

Мн = 0,65∙0,15 = 0,1 т∙м/м;

Мр = 0,72∙0,15 = 0,11 т∙м/м.

class=»eliadunit»>

Добавить комментарий

Расчет на прочность | ПроСопромат.ру

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

а) Для определения σ_(К), τ_(К) и _maxσ,_maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения I_Н.О., осевого момента сопротивления W_Н.О., статического момента отсечённой части  и статического момента половины сечения S_max:

Тогда:

б) Проверка прочности:

— по условию прочности нормальных напряжений:

— по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

где 

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1)          ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда 

(2)          ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда 

Iучасток   

∑М(С) = М(z₁) +F·z₁=0,

ММ(z₁) = —F·z₁= — 30 ·z₁ —

– уравнение прямой.

При z₁ = 0:      М = 0,

z₁ = 2:      М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок     

откуда

— уравнение параболы.

При z₂=0:     М = 0,

z₂=3м:  М = 30 · 3 – 5 · 3² = 90 — 45 = 45кНм,

z₂=6м:  М = 30 · 6 – 5 · 6² = 180 — 180 = 0.

∑у= Q(z₂) — q·z₂ + B= 0,

Q(z₂) = q·z₂ — B= 10·z₂ – 30 – уравнение прямой,

при  z₂ = 0:     Q = -30,

        z₂ = 6м:     Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

тогда

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

— для круглого сечения 

— для прямоугольного сечения 

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

А_{прямоугольного} = 865,3см² < А_{круглого} = 1218,6см², следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

 

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа. 

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1)              ∑М(А) = – М₁– F  ·2 — (q·8)·4 + М₂ + В·6 =0,

откуда 

(2)      ∑М(В) = – М₁– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М₂ =0,

откуда 

Проверка:

∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

∑М(С) = М(z₁) — М₁=0,

М(z₁) = М₁= 40 кНм – постоянная функция.   

∑у= — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = 0.

II участок 

— парабола.

Приz₂=0:       М = 40 кНм,

z₂=1м:    М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z₂=2м:    М = 40+ 104 · 2 – 10 · 2² = 208 кНм.

∑у=А — q·z₂ — Q(z₂) = 0,

Q(z₂) =А— q·z₂ = 104 –  20·z₂  – уравнение прямой,

при  z₂ = 0:       Q = 104кН,

        z₂ = 6м:    Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0:       М = 24+40=-16 кНм,

z₃=2м:    М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)² = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z₃=4м:    М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)² = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

∑у=В — q(2+z₃ ) + Q(z₃) = 0,

Q(z₃) =- В + q(2+z₃ ) = -136 + 20 (2+z₃ )   – уравнение прямой,

при  z₃ = 0:        Q = -136 + 40 = — 94кН,

        z₃ = 4м:     Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

— парабола.

z₄=0:       М = 0кНм,

z₄=1м:    М = – 10кНм,

z₄=2м:    М = — 40кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 20·z₄  – уравнение прямой.

Приz₄ = 0:       Q = 0,

        z₄ = 2м:     Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М₂=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

 

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления W_х нет. Есть № 40^а с W_х=1190 см³ и № 45^а с W_х=1430 см³

Попробуем  меньший из них. Если принять двутавр № 40^а, у которого W_х=1190 см³ , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45^а, у которого W_х=1430 см³. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

что меньше [σ]=160МПа на  

Итак, принимается двутавр №45^а, у которого: W_х=1430 см³, I_х=32240см⁴, I_х: S_х=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

 

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

 

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение 

1.Определение опорных реакций 

∑М(А) = F · 2 + М₁ — М₂— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М₁— М₂ – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

∑М(С) = М(z₁) + F·z₁=0,

М(z₁) = — F·z₁= -20·z₁.

При z₁=0:     М = 0,

        z₁=2м:  М = – 40кНм,

∑у= — F— Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — 20кН.

II участок

        z₂=0:      М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z₂=4м:   М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

∑у=- F + А — Q(z₂) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0:      М = — 20·4= — 80 кНм,

z₃=2м:   М = 210·2 — 20·(2+2)² = 420 – 320 = 100кНм,

z₃=4м:   М = 210·4 – 20 · (2+4)² = 840 – 720 = 120кНм.

∑у= Q(z₃) + В — q·(2+z₃) = 0,

Q(z₃) = — В + q·(2+z₃) = — 210 + 40·(2+z₃) – уравнение прямой.

Приz₃ = 0:       Q = -130кН,

        z₃ = 4м:     Q = 30кН.

Q(z₀) = — 210 + 40·(2+z₀) = 0,

— 210 + 80 + 40·z₀ = 0,

40·z₀ = 130,

z₀ =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz₄=0:      М = 0 кНм,

z₄=1м:   М = – 20кНм,

z₄=2м:   М = — 80кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 40·z₄  – уравнение прямой,

        z₄ = 0:        Q = 0,

        z₄ = 2м:     Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |_maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |_maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

                         Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σ_Р]=30МПа, [σ_с]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту W_х=953см³. Это №40: I_x=19062см⁴, S_х=545см³, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Принимаем D=0,22м   →  d = 0,6·D =0,132м.

Проверка по τ:

Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба  

b₁= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,

h₁= h — 2t  = 0,8h,

Принимаем b=0,13м, h=0,26м.

Проверка по τ:

Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?

Двутавр —  А = 72,6см² = 72,6·10^-4 = 0,00726м²,

круглая труба –

прямоугольная труба — 

Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.