Проверка прогибов стальной балки
При расчете стальных балок по II-й ГПС (по прогибам) необходимо создавать раскрепления для прогибов:
Информация из справки LIRA SAPR (Справка\Пояснения Сталь\Проверки прогибов):
Проверка прогиба осуществляется сопоставлением реально определенного относительного прогиба (L/f) с максимально возможным для данного конструктивного элемента прогибом.
В данной версии проверка выполняется только для балок на основании состава загружений во всех сочетаниях. Учитываются коэффициенты надежности по нагрузке (заданные при формировании РСУ в среде ПК ЛИРА-САПР) и коэффициенты сочетания.
Перемещения, вызванные загружениями с долей длительности 0, в данном расчете не используются.
Прогибы находятся для каждого сечения на основании распределения MY1, MZ1, QY1, QZ1 по длине элемента. Соответственно, увеличение количества расчетных сечений способствует более точному определению прогибов (особенно, если воздействуют сосредоточенные силовые факторы).
В режиме локального расчета элемента (см. справочную систему СТК-САПР) имеется возможность расчета прогибов по огибающим эпюрам изгибающего момента в запас. Это может потребоваться, когда редактируются расчетные сочетания усилий (или нагрузок) и теряется связь с результатами расчета на ПК ЛИРА-САПР основной схемы.
Важно: Предусмотрена возможность определять не чистые перемещения (относительно локальных осей Y и Z в недеформированной схеме), а прогиб относительно двух выбранных условно неподвижных точек – точек раскрепления (в случае консоли, например, относительно одной точки).
Схема к определению прогибов балки с раскреплениями и без раскреплений
На приведенном фрагменте показан механизм определения прогибов (они обозначены как di и dk) в конструктивном элементе с наложенными раскреплениями на элементы.
Если раскрепления не наложены, то прогиб принимается равным полному расстоянию до оси X.
Важно: Если балка (ригель) разбита по длине промежуточными узлами, то для нее необходимо создать конструктивный элемент и раскрепления для проверки прогибов создавать как для конструктивного элемента (т.е. для балки как единого целого). В расчете стальных конструкций коэффициент расчетной длины (и для балок, и для колонн, и для ферм) применяется к длине конечного элемента (КЭ), если не задан конструктивный элемент (КоЭ). Если задан КоЭ, то коэффициент расчетной длины применяется к полной длине КоЭ.
Пример расчета однопролетной балки
Расчётная модель рамы с цельным ригелем и разбитым на отдельные элементы
Согласно нормативной документации прогиб определяется от действия нормативных нагрузок. Поскольку в LIRA SAPR все нагрузки прикладываются к узлам и элементам их расчётными значениями, при определении прогибов программа определяет нормативное значение нагрузок путём деления их на коэффициент надёжности.
Посмотреть какие приняты коэффициенты надёжности, а также ввести их вручную, если это необходимо, можно в окне параметров расчёта.
Окно параметров расчёта, вызываемое из окна задания параметров для стальных конструкций
Подробнее о корректировке коэффициентов надёжности для расчета прогибов вручную читайте в статье «Коэффициенты к временным нагрузкам при проверке прогиба»
Мозаика результатов проверки назначенных сечений по 2 предельному состоянию
Предельно допустимый L/200=6000/200=30мм
Без задания раскреплений (по абсолютному перемещению узлов балки):
((39,8мм/ к-т надежности по нагрузке)/ 30мм))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%
С заданием раскреплений (по относительному перемещению узлов балки за вычетом перемещений опорных узлов):
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%
Ручной ввод расчётной длины балки для расчёта прогибов
В диалоговом окне задания характеристик расчёта стальной балки присутствует группа параметров Расчёт по прогибу.
Информация из справки ЛИРА САПР:
Расчет по прогибу – данные для расчета прогиба. Длина пролета авто – вычисляется по положению раскреплений. Длина пролета точно – длина пролета при расчете приравнивается этому числу.
Рассмотрим раму из предыдущего примера, только теперь раскрепления для прогибов назначим для всех конструкций, а расчётные длины будем для первого случая задавать автоматическим способом, а для второго ручным.
Расчётная модель с информацией о назначенных расчётных длинах балок
Результаты расчётов прогибов балок
Предельно допустимый прогиб при длине 6 м L/200=6000/200=30мм
Предельно допустимый прогиб при длине 4 м L/200=4000/200=20мм
Проценты использования по предельному прогибу
Длина балки 6 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/20)*100%=139,4%
Расчёт прогибов стрельчатой арки
Пример — рама переменного сечения (РПС) пролётом 18 м. Соединение полурам в коньке — шарнирное, опирание полурам на фундамент — шарнирное.
Расчётная модель рамы
При этом в параметрах «Дополнительные характеристики» необходимо указать вручную пролет, с которым программа будет сравнивать прогиб (автоматическое определение пролета возможно только для линейных балок, где все конечные элементы (КЭ) конструктивного элемента (КоЭ) лежат на одной оси):
Эпюра перемещений fz ригеля одной полурамы (вдоль местной оси Z1 стержня)
Мозаика перемещений узлов по Z и «Раскрепления для прогибов» (раскреплён только ригель №4)
Результаты определения прогибов в СТК-САПР:
Результаты определения прогибов ригелей №2 и №4
Предельно допустимый L/200=17664/200=88.32 мм
Без задания раскреплений (по абсолютному значению на эпюре прогибов fz):
96.7/17644=1/182 — совпадает с результатом расчёта элемента №2
С заданием раскреплений (по относительному значению на эпюре прогибов fz):
(96.7-(-6.46))/17644=1/171 — совпадает с результатом расчёта элемента №4
Без задания раскреплений (по абсолютному значению перемещений узлов):
99.8/17644=1/177 — не совпадает ни с чем
Вывод: Расчёт на прогибы выполняется в местной системе координат стержня. Прогиб стрельчатых и цилиндрических арок, а также любых криволинейных конструкций, нужно определять по перемещениям узлов в глобальной системе координат и вручную сравнивать с предельно допустимыми значениями.
Расчёт прогибов цилиндрической арки
Пример – цилиндрическая арка пролётом 18 м, стрелой подъёма f = 9 м. Соединение всех элементов между собой — жёсткое, опирание на фундамент — шарнирное.
Нагрузки на арку приложены их расчётными значениями. Значения нагрузок для определения прогибов принимаются согласно СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия, таблица Д.1 Приложения Д. В данном примере арка является конструкцией покрытия, прогиб которой должен определяться от постоянных и длительных нагрузок (п.2 табл. Д.1). Для визуализации перемещений от нормативных значений нагрузок, необходимо создать особое РСН с нормативными длительными значениями нагрузок. Нагрузки в данном РСН нужно поделить на коэффициент надёжности, с учётом длительности. На конструкцию действуют два загружения:
Загружение 1 — постоянное, коэффициент надёжности 1.1;
Загружение 2 — кратковременное, коэффициент надёжности 1.2, доля длительности 0.35;
Вычислим коэффициенты для перехода к нормативным значениям
Загружение 1 Kn=1/1.1=0.91;
Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292
Таблица РСН с сочетаниями расчётных и нормативных значений нагрузок с учётом длительности.
Мозаика перемещений узлов цилиндрической арки от РСН2
Предельно допустимый прогиб L/200=18000/200=90 мм
Фактический прогиб (по абсолютному значению перемещений узлов): 32.2/18000=1/559 – меньше предельно допустимого значения.
Примечание: если подобная конструкция стоит на своих опорах, то перемещения опорных точек (для получения относительных перемещений) удобно получить через «Мозаику относительных перемещений», указав реперный узел.
Мозаика перемещений узлов в глобальной СК (абсолютных)
Мозаика перемещений узлов в глобальной СК относительно реперного узла
1. Балки крановых путей под мостовые и подвесные краны, управляемые: | |||
с пола, в том числе тельферы (тали) | Технологические | | От одного крана |
из кабины при группах режимов работы (по #M12291 1200004622ГОСТ 25546-82#S): | Физиологические и технологические | ||
1К-6К | | То же | |
7К |
| « | |
8К |
| « | |
2. Балки, фермы, ригели, прогоны, плиты, настилы (включая поперечные ребра плит и настилов): | |||
а) покрытий и перекрытий,
открытых для обзора, при пролете | Эстетико-психологические | Постоянные и временные длительные | |
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
б) покрытий и перекрытий при наличии перегородок под ними | Конструктивные | Принимаются в соответствии с п.6 рекомендуемого приложения 6 | Приводящие к уменьшению зазора между несущими элементами конструкций и перегородками, расположенными под элементами |
в) покрытий и перекрытий при наличии на них элементов, подверженных растрескиванию (стяжек, полов, перегородок) | « | | Действующие после выполнения перегородок, полов, стяжек |
г) покрытий и перекрытий при наличии тельферов (талей), подвесных кранов, управляемых: | |||
с пола | Технологические | (меньшее из двух) | Временные с учетом нагрузки от одного крана или тельфера (тали) на одном пути |
из кабины | Физиологические | (меньшее из двух) | От одного крана или тельфера (тали) на одном пути |
д) перекрытий, подверженных действию: | Физиологические и технологические | ||
перемещаемых грузов, материалов, узлов и элементов оборудования и других подвижных нагрузок (в том числе при безрельсовом напольном транспорте) | | 0,7 полных нормативных значений временных нагрузок или нагрузки от одного погрузчика (более неблагоприятное из двух) | |
нагрузок от рельсового транспорта: | |||
узкоколейного | | От одного состава вагонов (или одной напольной машины) на одном пути | |
ширококолейного | | То же | |
3. Элементы лестниц (марши, площадки, косоуры), балконов, лоджий | Эстетико-психологические | Те же, что в поз.2,а | |
Физиологические | Определяются в соответствии с п.10.10 | ||
4. Плиты перекрытий, лестничные марши и площадки, прогибу которых не препятствуют смежные элементы | « | 0,7 мм | Сосредоточенная нагрузка 1 кН (100 кгс) в середине пролета |
5. Перемычки и навесные стеновые панели над оконными и дверными проемами (ригели и прогоны остекления) | Конструктивные |
| Приводящие к уменьшению зазора между несущими элементами и оконным или дверным заполнением, расположенным под элементами |
Эстетико-психологические | Те же, что в поз.2,а | ||
Обозначения, принятые в табл.19: Примечания. 1. Для консоли
вместо 2. Для промежуточных
значений 3. В поз.2, а цифры, указанные в скобках, следует принимать при высоте помещений до 6 м включительно. 4. Особенности вычисления прогибов по поз.2, г указаны в п.8 рекомендуемого приложения 6. 5. При ограничении прогибов
эстетико-психологическими требованиями
допускается пролет | |||
/250
/400
/500
/600
,
м:
/120
/150
/200
/250
/300
/150
/300
или
/150
/400
или
/200
/350
/400
/500
/200
— расчетный пролет элемента конструкции;
— шаг балок или ферм, к которым крепятся
подвесные крановые пути.
следует принимать удвоенный ее вылет.
в
поз.2, а предельные прогибы следует
определять линейной интерполяцией,
учитывая требования п.7 рекомендуемого
приложения 6.
принимать равным расстоянию между
внутренними поверхностями несущих
стен (или колонн).Предельные состояния стальных балок
Предисловие 5
Основные обозначения 7
Введение 10
Раздел I. Влияние касательных напряжений на несущую способность балки
§ 1. Предварительные замечания 20
Глава I. Прямоугольное сечение 23
§ 2. Основные гипотезы —
§ 3. Разыскание предельного условия 25
§ 4. Упрощенный метод решения задачи, рассмотренной в § 3 30
Глава II. Двутавровое сечение 36
§ 5. Особенности двутаврового сечения —
§ 6. Предельное условие для балки двутаврового сечения 37
§ 7. Предельные условия для неразрезных балок 45
§ 8. Экспериментальные данные 48
§ 9. Случаи многократного загружения 49
§ 10. Быстрота распространения пластичности по сечению 51
§ 11. Ограничения, налагаемые величиной перемещений 52
Раздел II. Устойчивость балок при простом изгибе
§ 1. Предварительные замечания 58
Глава III. Устойчивость плоской деформации балок 60
§ 2. Основные уравнения —
§ 3. Балки симметричного двутаврового сечения 70
§ 4. Двутавровые балки с одной плоскостью симметрии 79
§ 5. Учет прогибов балки в плоскости изгиба 82
Глава IV. Некоторые специальные задачи 86
§ 6. Устойчивость плоской деформации балок за пределом упругости —
§ 7. Балки» укрепленные продольными или поперечными связями 92
§ 8. Влияние начального искривления на устойчивость балок 99
Раздел III. Устойчивость стенок и поясных листов в балках
§ 1. Предварительные замечания 107
Глава V. Пластинки с жестко опертым контуром 109
§ 2. Граничные поверхности для свободно опертых пластинок —
§ 3. Пластинка, стороны которой у = 0 и у = b заделаны, а стороны х = 0 и х = а свободно оперты 114
§ 4. Принципы расчета на устойчивость 126
§ 5. Балочная стенка, укрепленная только поперечными ребрами 130
§ 6. Балочная стенка, укрепленная одним продольным ребром и поперечными ребрами жесткости 139
§ 7. Балочная стенка, укрепленная несколькими продольными ребрами 143
§ 8. Устойчивость поясных листов 145
Глава VI. Пластинки, усиленные упругими ребрами 146
§ 9. Общие замечания —
§ 10. Чистый изгиб пластинки, укрепленной одним продольным ребром 147
§ 11. Чистый сдвиг пластинки, укрепленной двумя продольными ребрами 154
§ 12. Приближенный метод решения задачи § 11 159
§ 13. Граничные кривые для комбинации чистого изгиба с чистым сдвигом 163
Глава VII. Влияние начального искривления на устойчивость
стенок (линейная задача) 169
§ 14. Общие замечания —
$ 15. Критерии предельного состояния искривленной пластинки 171
§ 16. Разложение в ряд решения неоднородного уравнения 172
§ 17. Приложения задачи, рассмотренной в § 16 179
§ 18. Влияние начального искривления при различных напряжен-
ных состояниях 185
Глава VIII. Влияние начального искривления на устойчивость стенок (нелинейная задача) 190
§ 19. Основные уравнения нелинейной задачи —
§ 20. Свободно опертая пластинка 199
§ 21. Пластинка с двумя заделанными краями 205
§ 22. Пластинка с начальным искривлением и поперечной нагрузкой 208
§ 23. Выводы применительно к практическому расчету 209
Использованная литература 215
Предельные прогибы для расчета деревянных балок.
При действии нагрузки деревянные балки могут получать довольно большие прогибы, в результате которых нарушается их нормальная эксплуатация. Поэтому кроме расчетов по первой группе предельных состояний (прочность), необходимо выполнить расчет деревянных балок и по второй группе т.е. по прогибам. Расчет деревянных балок на прогиб выполняется на действие нормативных нагрузок. Нормативную нагрузку получаем разделением расчетной нагрузки на коэффициент надежности по нагрузке. Вычесление нормативной нагрузки выполнятся в сервисе расчет деревянных балок автоматически. Нормальная эксплуатация балок возможна, в случае если расчетный прогиб деревянной балки не превышает прогиб, установленный нормами. Нормативными документами установлены конструктивные и эстетико-психологические требования.
1. Конструктивные требования к прогибам деревянных балок.
Представлены в СП64.13330.2011 «ДЕРЕВЯННЫЕ КОНСТРУКЦИИ» Таблица 19
| Элементы конструкций | Предельные прогибы в долях пролета, не более |
1 Балки междуэтажных перекрытий 2 Балки чердачных перекрытий 3 Покрытия (кроме ендов): а) прогоны, стропильные ноги б) балки консольные в) фермы, клееные балки (кроме консольных) г) плиты д) обрешетки, настилы 4 Несущие элементы ендов 5 Панели и элементы фахверха | 1/250 1/200 1/200 1/150 1/300 1/250 1/150 1/400 1/250 |
1. Эстетическо-психологические требования к прогибам деревянных балок.
Представлены в СП20.13330.2011 «НАГРУЗКИ И ВОЗДЕЙСТВИЯ» Приложение Е.2
| Элементы конструкций | Вертикальные предельные прогибы |
2 Балки, фермы, ригели, прогоны, плиты, настилы (включая поперечные ребра плит и настилов):а) покрытий и перекрытий, открытых для обзора, при пролете l, м: l<1 l<3 l<6 l<12 l<24 | 1/120 1/150 1/200 1/250 1/300 |
Основы сопромата, расчет прогиба балки
Cодержание:
Основы сопромата кратко.
1. Виды опор.
1.1. Шарнирные опоры.
Расчетная длина (пролет) балки.
1.2. Опорные связи шарнирно закрепленной балки.
1.3 Жесткое защемление на опорах.
1.4. Скользящие заделки.
2. Нагрузки (внешние силы).
3. Напряжения (внутренние силы).
4. Реакции опор.
5. Уравнения статического равновесия.
4.1. Определение опорных реакций.
6. Уравнения изгибающего момента.
7. Балка на двух шарнирных опорах.
8. Консольная балка.
9. Метод сечений.
10. Определение момента сопротивления.
11. Определение угла поворота.
12. Определение прогиба.
13. Определение угла поворота через прогиб.
14. Список использованной литературы.
Расчет прогиба балки не то, чтобы такой уж сложный, но для того, чтобы каждый раз не повторять одни и те же операции при расчете и этим максимально сократить время расчета, специалисты по сопромату уже давно вывели формулы для наиболее вероятных вариантов опор балок и нагрузок, действующих на балки. Достаточно только определиться с расчетной моделью балки и формула для расчета прогиба к Вашим услугам. Но аксиомы: «если хочешь, чтобы работа была сделана хорошо, сделай это сам» пока никто не отменял. Дело в том, что в разного рода справочниках и пособиях иногда бывают опечатки или ошибки, поэтому использовать готовые формулы не всегда есть хорошо.
11. Определение угла поворота.
(вернуться к основному содержанию)
Прогиб строительной конструкции, а в нашем случае балки — единственная величина, которую проще всего определить опытным путем и сложнее всего теоретическим. Когда мы прикладывали к линейке нагрузку (давили на нее пальцем или мощью своего интеллекта), то невооруженным глазом видели, что линейка прогибалась:
Рисунок 11.1. Перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в центре балки и угол поворота продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, на одной из опор.
Если бы мы хотели определить величину прогиба опытным путем, то достаточно было бы измерить расстояние от стола, на котором лежат книги (на рисунке не показан) до верха или низа линейки, затем приложить нагрузку и измерить расстояние от стола до верха или низа линейки. Разница в расстояниях — это и есть искомый прогиб (на фотографии величина прогиба обозначена оранжевой линией):
Фотография 1.
Но попробуем прийти к тому же результату, следуя по тернистому пути теории сопромата.
Так как балка прогнулась (в хорошем значении этого слова), получается, что и продольная ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений всех точек балки, и до приложения нагрузки совпадавшая с осью х, сместилась. Это смещение центра тяжести поперечного сечения по оси у называется прогибом балки f. Кроме того, очевидно, что на опоре эта самая продольная ось теперь находится под некоторым углом θ к оси х, а в точке действия сосредоточенной нагрузки угол поворота = 0, так как нагрузка у нас приложена посредине и балка прогнулась симметрично. Угол поворота принято обозначать «θ«, а прогиб «f» (во многих справочниках по сопромату прогиб обозначается как «ν«, «w» или любыми другими литерами, но нам, как практикам, удобнее использовать обозначение «f«, принятое в СНиПах).
Как определить этот самый прогиб мы пока не знаем, но зато мы знаем, что нагрузка, действуя на балку, создает изгибающий момент. А изгибающий момент создает внутренние нормальные сжимающие и растягивающие напряжения в поперечных сечениях балки. Эти самые внутренние напряжения приводят к тому, что в верхней части балка сжимается, а в нижней растягивается, при этом длина балки по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений остается такой же, в верхней части длина балки уменьшается, а в нижней части увеличивается, причем чем дальше расположены точки поперечных сечений от продольной оси, тем больше будет деформация. Определить эту самую деформацию мы можем используя еще одну характеристику материала — модуль упругости.
Если мы возьмем кусок бинтовой резины и попробуем его растянуть, то обнаружим, что резина растягивается очень легко, а выражаясь по научному деформируется на значительную величину при воздействии даже небольшой нагрузки. Если мы попробуем проделать то же самое с нашей линейкой, то растянуть ее даже на десятые доли миллиметра руками вряд ли получится, даже если прилагать к линейке нагрузку в десятки раз большую, чем к бинтовой резине. Это свойство любого материала описывается модулем Юнга, который часто называется просто модулем упругости. Физический смысл модуля Юнга при максимально допустимом загружении рассчитываемой конструкции примерно следующий: модуль Юнга показывает отношение нормальных напряжений, (которые при максимально допустимом загружении равны расчетному сопротивлению материала к относительной деформации при таком загружении:
E = R/Δ (11.1.1)
а это значит, что для работы материала в области упругих деформаций значение внутренних нормальных напряжений, действующих не абстрактно, а на вполне определенную площадь сечения, с учетом относительной деформации не должно превышать значения модуля упругости:
E ≥ N/ΔS (11.1.2)
в нашем случае балка имеет прямоугольное сечение, поэтому S = b·h, где b — ширина балки, h — высота балки.
Измеряется модуль Юнга в Паскалях или кгс/м2. Для абсолютного большинства строительных материалов модули упругости определены эмпирическим путем, узнать значение модуля для того или иного материала можно по справочнику или сводной таблице.
Определить величину деформации для поперечного сечения, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка или сосредоточенная сила в центре тяжести поперечного сечения, очень просто. В таком сечении возникают нормальные сжимающие или растягивающие напряжения, равные по значению действующей силе, направленные противоположно и постоянные по всей высоте балки (согласно одной из аксиом теоретической механики):
Рисунок 507.10.1
и тогда определить относительную деформацию, если известны геометрические параметры балки (длина, ширина и высота) несложно, простейшие математические преобразования формулы (11.1.2) дают следующий результат:
Δ = Q/(S·Е) (11.2.1) или Δ = q·h/(S·Е) (11.2.2)
Так как расчетное сопротивление показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к определенной площади, то в данном случае мы можем рассматривать действие сосредоточенной нагрузки на всю площадь сечения нашей конструкции. В некоторых случаях важно определить деформации именно в точке приложения сосредоточенной нагрузки, но сейчас мы эти случаи не рассматриваем. Чтобы определить суммарную деформацию, нужно обе части уравнения умножить на длину балки:
Δl = Q·l/(b·h·Е) (11.2.3) или Δl = q·h·l/(b·h·Е) (11.2.4)
Но в рассматриваемом нами случае на поперечные сечения балки действует не сосредоточенная сила, приложенная к центру тяжести поперечного сечения, а изгибающий момент, который можно представить в виде следующей нагрузки:
Рисунок 149.8.3
При такой нагрузке максимальные внутренние напряжения и соответственно максимальные деформации будут происходить в самой верхней и в самой нижней части балки, а посредине никаких деформаций не будет. Равнодействующую для такой распределенной нагрузки и плечо действия сосредоточенной силы мы находили в предыдущей части (2), когда определяли момент сопротивления балки. Поэтому теперь без особого труда можем определить суммарную деформацию в самой верхней и в самой нижней части балки:
Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) (11.3.1)
или
Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)
так как W = b·h2/6 (10.6)
Эту же формулу мы можем получить и другим способом. Как мы знаем, момент сопротивления поперечного сечения балки должен удовлетворять следующему условию:
W ≥ М / R (10.3)
Если мы будем рассматривать эту зависимость как уравнение и заменим в этом уравнении значение R на ΔЕ, получим следующее уравнение:
W = М / ΔЕ (11.4.1)
И тогда:
М = WΔЕ (11.4.2) a Δ = M/(W·Е) (11.4.5) и соответственно Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)
В результате деформации, которую мы только что определили, наша балка могла была бы выглядеть так:
Рисунок 11.2. Предполагаемая (для наглядности) деформация балки
то есть в результате деформаций самая верхняя и самая нижняя точки поперечного сечения сместятся на величину Δх. А это значит, что зная величину деформации и высоту балки, мы можем определить угол поворота θ поперечного сечения на опоре балки. Из школьного курса геометрии мы знаем, что отношение катетов прямоугольного треугольника (в нашем случае катеты Δх и h/2) равно тангенсу угла θ:
tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)
и тогда
tgφ = 2 M·х/(h·W·Е) (11.5.3)
Если вспомнить, что момент инерции — это момент сопротивления поперечного сечения, умноженный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения или наоборот, момент сопротивления — это момент инерции, разделенный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения:
W = I/(h/2) (10.7) или I = W·h/2 (10.7.2)
то мы можем заменить момент сопротивления на момент инерции:
tgφ = M·х/(I·Е) (11.5.4)
хотя делать это было не обязательно, но таким образом мы получили формулу угла поворота почти такой, как она дается во всех учебниках и справочниках по сопромату. Главное отличие в том, что обычно речь идет о угле поворота, а не о тангенсе угла. И хотя при малых деформациях значения тангенса угла и угол сопоставимы, но тем не менее угол и тангенс угла — это разные вещи (впрочем в некоторых справочниках, например: Фесик С.П. «Справочник по сопротивлению материалов» Киев: Будiвельник. — 1982 переход от тангенса к углу упоминается, хотя и без достаточных на мой взгляд объяснений). Более того, если быть совсем уж точным, то таким способом мы определяем отношение продольной деформации к высоте балки
Рассчитываемые элементы далеко не всегда имеют прямоугольное сечение, как наша рассматриваемая линейка. В качестве балок и перемычек могут использоваться различные горячекатаные профили, тесанные и не тесанные бревна и вообще все, что угодно. Тем не менее понимание принципов расчета момента инерции позволяет определить момент инерции для поперечного сечения любой, даже очень сложной геометрической формы. В абсолютном большинстве случаев вычислять самому момент инерции нет необходимости, для металлических профилей сложного сечения (уголки, швеллера, двутавры и др.) момент инерции, как впрочем и момент сопротивления определяется по сортаменту. Для элементов круглого овального, треугольного сечения и некоторых других видов сечения определить момент инерции можно по соответствующей таблице.
Если рассматривать суммарную деформацию всей балки, т.е. по всей длине l, то очевидно, что суммарная деформация при наших нагрузках не может быть только с одной стороны балки, как показано на рисунке 11.3.а:
Рисунок 11.3.
Так как к нашей балке нагрузка приложена посредине, в результате чего реакции на опорах, возникающие в результате действия нагрузки равны между собой и каждая равна половине приложенной нагрузки, то скорее при этих условиях суммарная деформация будет выглядеть так, как показано на рисунке 11.3.b и тогда в нашем конкретном случае угол наклона поперечного сечения на каждой из опор будет:
tgθ = M·х/(2IЕ) (11.5.5)
Пока мы определяли тангенс угла поворота простым графоаналитическим методом и в случае, когда нагрузка к балке приложена посредине, это у нас неплохо получилось. Но варианты приложения нагрузок к балке бывают всякие и хотя суммарная деформация всегда будет равна Δl, но угол наклона поперечных сечений на опорах может быть разным. Если мы присмотримся к формулам (11.5.4) и (11.5.5) повнимательнее, то увидим, что мы умножаем значение момента в некоторой точке на величину х, которая с точки зрения теоретической механики ни чем не отличается от понятия — «плечо действия силы». Получается, что для определения тангенса угла поворота мы должны умножить значение момента на плечо действия момента, и значит, понятие «плечо» можно применить не только к силе, но и к моменту. Когда мы использовали понятие плеча действия силы, открытое еще Архимедом, то мы и предполагали как далеко это может нас завести. Метод, показанный на рисунке 5.3, дал нам значение плеча момента = х/2. Теперь попробуем определить плечо момента другим способом (графоаналитический метод). Тут нам пригодятся эпюры, построенные для балки на шарнирных опорах:
Рисунок 149.7.1 Рисунок 149.7.2
Теория сопротивления материалов позволяет рассматривать внутренние нормальные напряжения, характеризуемые эпюрой «М» рисунка 149.7.1 для балки с постоянной жесткостью, как некую внешнюю фиктивную нагрузку. Тогда площадь эпюры «М» от начала балки до середины пролета — это фиктивная опорная реакция материала балки на равномерно изменяющуюся нагрузку. А фиктивный изгибающий момент — это площадь эпюры «М», умноженная на расстояние от центра тяжести эпюры «М» до рассматриваемой точки. Так как значение изгибающего момента посредине пролета составляет Ql/4, то площадь такой фигуры составит Ql/4(l/2)(1/2) = Ql2/16. А если это значение разделить на жесткость ЕI, то мы получим значение тангенса угла поворота.
Забегая наперед, определим значение прогиба. Расстояние от центра тяжести треугольной эпюры «М» до середины пролета равно l/6, тогда фиктивный изгибающий момент составит (Ql2/16)l/2 — (Ql2/16)l/6 = Ql3/48. Тогда прогиб f = Ql3/48EI. А так как эпюра моментов у нас расположена снизу балки, то такая фиктивная нагрузка будет в итоге давать отрицательное значение угла поворота и прогиба, что в общем-то логично, так как при таком действии нагрузки прогиб — смещение центра тяжести поперечного сечения будет происходить вниз по оси у.
Характерная особенность графоаналитического метода состоит в том, что количество вычислений можно еще сократить. Для этого нужно умножить площадь эпюры фиктивной нагрузки на расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат, а не до рассматриваемой точки на оси. Например, для вышеприведенного случая (Ql2/16)l/3 = Ql3/48
При равномерно распределенной нагрузке эпюра моментов описывается квадратичной параболой, определить площадь такой фигуры и расстояние до центра тяжести сложнее, но для того нам и нужны знания по геометрии, чтобы можно было определить площадь любой фигуры и положение центра тяжести такой фигуры.
Таким образом получается, что для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка в середине балки при х=l/2:
tgθ = М·(x/2)/(ЕI) = ((Ql/4)·(l/4))/(ЕI) = Ql2/(16EI) (11.6.1)
То, что мы только что делали называется интегрированием, ведь если умножить значение значение эпюры «Q» (рисунок 149.7.1) на длину действия нагрузки, мы тем самым определим площадь прямоугольника со сторонами «Q» и х, при этом площадь данного прямоугольника равняется значению эпюры «М» в точке х.
Теоретически получается, что мы можем определить значение тангенса угла поворота, интегрируя одно из уравнений моментов, составленных для нашей балки. Максимальное значение тангенса угла поворота для балки на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине (рисунок 149.7.1), будет при х=l/2
tgθ = ∫Mdx/(EI) = ∫Axdx/(EI)= Ax2/(2EI) = (Q/2)·(l/2)2/(2ЕI) = Ql2/(16EI) (11.6.2)
где А — это реакция опоры = Q/2
При распределенной нагрузке интегрирование уравнения моментов: q(l/2)·x — qx2/2 для левой части балки дает следующий результат:
tgθ = ∫Mdx/(EI) = q·(l/2)·(l/2)2/(2ЕI) -q·(l/2)3/(6ЕI) = ql3/(24EI) (11.6.3)
Тот же результат мы получим и при использовании графо-аналитического метода.
Когда мы определяли угол поворота, то для наглядности предположили, что балка деформировалась так, как показано на рисунке 5.2, потом так, как показано на рисунке 11.3.b, потом мы выяснили, что если бы второй опоры не было, то балка повернулась вокруг первой опоры, но в действительности вторая опора есть и потому так балка деформироваться (при нашей нагрузке на балку) не может. Так как на опоре нет никакого вращающего момента и соответственно никаких внутренних напряжений, способных изменить геометрическую форму балки, то геометрическая форма балки на опоре остается неизменной, а внутренние напряжения, увеличивающиеся по ходу балки, деформируют балку все сильнее и это приводит к тому, что балка поворачивается вокруг шарнирных опор и этот угол поворота равен углу наклона поперечного сечения θ (так как мы рассматриваем балку-параллелепипед):
Рисунок 11.4. Реальная деформация балки.
Если мы просто постоим эпюру углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой посредине по уравнениям для левой и для правой части балки, то эпюра будет выглядеть так:
Рисунок 11.5.
Данная эпюра была бы правильной только для балки, изображенной на рисунке 5.3.а. Очевидно, что в нашем случае эпюра так выглядеть не может и для построения правильной эпюры нужно учесть, что поперечные сечения балки имеют наклон на обоих опорах, причем наклон этот одинаковый по значению, но разный по направлению а наклон поперечного сечения балки посредине =0. Если мы опустим эпюру на Ql2/16EI, которое мы получаем при интегрировании уравнения моментов для левой части балки и которое показывает угол наклона поперечного сечения именно на опоре, то получим эпюру следующего вида:
Рисунок 11.6.
Данная эпюра абсолютно точно показывает, изменение угла поворота поперечных сечений, вдоль всей балки, а значение тангенса угла поворота на левой опоре балки не что иное, как некая постоянная С1, которую мы получаем, если интегрирование выполнять корректно. И тогда уравнение угла поворота для балки при данной нагрузке на участке 0<x<0.5l будет выглядеть так:
tgθх = — tgθA + Ax2/(2EI) (11.6.5)
Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой — это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:
tgθх = — tgθA + Ax2/(2EI) — qx3/(6ЕI) (11.6.6)
По поводу знаков в данном уравнении. «-» означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а «+» — по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθА должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки — то положительным.
Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.
12. Определение прогиба.
(вернуться к основному содержанию)
Как мы видим из рисунка 11.4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у, а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:
tgθ = (f + y)/Х (12.1)
тогда
f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)
при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у — это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12.2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть «плечо действия». Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:
f = М·x2/(3ЕI) (12.3.1)
Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):
у =∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2)3/6EI = Ql3/(96EI) (12.3.2)
или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:
f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2)3/6EI = Ql3/(48EI) (12.3.3)
Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение — площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.
Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:
fх = — tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)
fl/2 = — (Ql2/16EI) l/2 + (Ql3/96EI) = -(Ql3/48EI) (12.3.5)
В данном случае знак «-» показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х. А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у, именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3). Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k. Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:
f= 2∫∫∫(ql/2)dx — 3∫∫∫∫qdх = (2(qlx3/6) — 3(qx4/24))/EI = 5ql4/(384EI) (12.4.4)
или
fх= — ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)
fl/2 = (- ql3x/24 + (qlx3/6) — (qx4/24))/EI = — 5ql4/(384EI) (12.4.6)
В данном случае знак «-» означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у.
Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.
Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки — эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql2/(8·3))l/2 = ql3/24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql4/384.
Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы, чтобы ими пользоваться.
-Позвольте! — Скажете вы, — Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!
Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб, однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.
Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 — 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 105 кгс/см2, момент инерции прямоугольного сечения Iz = bh3/12 = 4.98·0.323/12 = 0.01359872 см4, полная нагрузка — 0.302 кг.
Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql3/(48EI) = 0.302·903/(48·105·0.0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции — тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.
Проверяем: tgθ = Ql2/(16EI) = 0.302·902/(16·105·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.1122)3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм.
Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см4, длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.
13. Определение угла поворота через прогиб.
(вернуться к основному содержанию)
Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А, казалось бы, проще простого:
tgθх = — tgθA + Мx/(EI) — Аx2/(2ЕI) (13.1.1)
где А = М/l, (B = — M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А, а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:
fA = tgθBl — Bl3/(6EI) = 0; tgθB = — Ml3/(6l2EI) = — Ml/(6EI) (13.1.2)
fB = tgθAl + Ml2/(2EI)- Al3/(6EI) = 0; tgθA = — Ml/(3EI) (13.1.3)
Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.
Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами — значения начальных параметров определяются в ходе решения дифференциальных уравнений.