|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Расчет трехшарнирной арки | ПроСопромат.ру
Для сплошной трехшарнирной арки требуется аналитически определить моменты, поперечные и нормальные силы в сечениях К1 и К2 от действия постоянной нагрузки.Арка очерчена по окружности. Дано:
Решение:
1) Определение реакций в трехшарнирной арке
Вертикальные реакции в арке определяются так же, как в балке.
Горизонтальные реакции HA, HB (распор) определяются как сумма моментов вокруг шарнира С правой и левой части арки, где f – стрела подъема арки.
2) Определение усилий в арке
При очертании арки по окружности находим необходимые геометрические размеры арки:
— радиус кривизны арки: 
— ординаты сечений К1 и К2:
— синус и косинус угла наклона касательной в сечениях К1 и К2:
а) рассматриваем сечение К1
б) рассматриваем сечение К2
Запись опубликована автором admin в рубрике Строительная механика.
Расчет арки: особенности, правила и примеры
Зачастую перед строителем возникает задача выстраивания арочного перекрытия, обустройства куполообразной кровли или оригинального «горбатого» мостика над водоемом, который становится все более популярной малой архитектурной формой. При этом, в большинстве случаев мастера не утруждают себя сложными расчетами, используя две величины, которые известны даже семикласснику. Такими величинами являются ширина пролета, впоследствии перекрываемая аркой, и высота подъема арки, которая рассчитывается путем определения расстояния между воображаемой горизонтальной линией, проведенной между точками, на которые осуществляется упор арки, и наивысшей точкой арки. По мнению специалистов, данных величин недостаточно, чтобы обустроить надежную арку с высокими эксплуатационными характеристиками. Основная роль при конструировании арочного перекрытия отводится выбору материалов, из которого будет сооружаться арка, и связанному с ним расчету арки, правильность проведения которого определяет ее последующие эксплуатационные характеристики. Следуя данным рекомендациям, вы сможете сконструировать надежное арочное перекрытие, которое станет отличным решением и не только разнообразит дизайн квартиры, но и станет отличным украшением ландшафтного дизайна сада. Специалисты в данной сфере без труда произведут все необходимые расчеты, но что делать, если нет возможности воспользоваться их услугами, и приходится выполнять все работы самостоятельно? В этом случае воспользуйтесь нашими рекомендациями, которые помогут вам максимально эффективно справиться с поставленной задачей.
Содержание
- Арочные системы с точки зрения профессионала
- Классификация арок: основные разновидности
- Как осуществить расчет трехшарнирной арки с затяжкой: рекомендации специалистов
- Несколько слов о выборе материала для арки
- Расчет кирпичной арки: основные моменты
- И в заключение
Арочные системы с точки зрения профессионала
С точки зрения специалистов инженеров, арочными конструкциями называются системы ломаного или криволинейного характера, на опорные элементы которых действуют вертикальные нагрузки, приводящие к наклонным реакциям, направленным внутрь проема. Горизонтальной составляющей подобной опорной реакции является распор, что свидетельствует о том, что арочные системы являются распорными конструкциями. Это и является их основным отличием от балок, которые испытывают только нормальное механическое напряжение. В современном строительстве арки используются в качестве основных несущих конструкций сооружений различного назначения, будь то хозяйственные, промышленные или сельскохозяйственные постройки, пролетом от 12 до 70 м. Что касается зарубежного строительства, то в данной отрасли конструирование арочных пролетов еще более развито, что позволяет сооружать арки высотой до 100 м и более.
Классификация арок: основные разновидности
В соответствии со статической схемой, различают бесшарнирные, двухшарнирные и трехшарнирные арки;
Также опорные конца арки можно соединить горизонтально расположенным стержнем, воспринимающим горизонтальную нагрузку и называемым затяжкой. Расчет арки с затяжкой несколько отличается от расчета двухшарнирной арки или трехшарнирной арки без затяжки.
Для каждого из этих типов характерны свои достоинства и недостатки, в связи с чем, выбор конструкции осуществляется инженером-проектировщиком, который осуществит расчет трехшарнирной арки с учетом прочностных требований, предъявляемых к ней, материалов, используемых для ее конструирования, и архитектурных задач, которые возлагаются на ту или иную конструкцию.
В соответствии со схемой опирания, выделяют арки с затяжкой и арки без затяжки. Если первые воспринимают распор, то распор последних передается на опоры. Изготовление затяжки осуществляют из профильной стали или арматуры. Если эксплуатация арки будет осуществляться в условиях агрессивных сред, способствующих коррозии металла, допускается использование деревянных клееных затяжек.
По форме различают:
- Треугольные арки, состоящие из прямых полуарок. Расчет треугольной арки не представляет сложностей, и вы сможете произвести его самостоятельно;
- Пятиугольные арки;
- Сегментарные арки, оси полуарок которых располагаются на общей окружности;
- Стрельчатые арки, состоящие из нескольких полуарок, оси которых расположены на двух окружностях;
Как осуществить расчет трехшарнирной арки с затяжкой: рекомендации специалистов
Если вы планируете осуществить монтаж небольшой арки, расчет и конструирование не доставят вам особых сложностей, так как для их производства предпочтительнее использовать листы строительного материала огромных размеров, такого как фанера, гипсокартон или OSB-плиты. Наибольшие показатели их длины ширины составляют 250 и 120 см соответственно, что позволяет просто начертить арку на листе материала и выпилить как минимум две составляющие детали несущих балок. В завершение такие арки обшивают листовым материалом, после чего можно считать, что арка готова. Несмотря на быстроту и простоту монтажа арок данным методом, для него характерны и свои недостатки, среди которых большое количество материала, затраченного на отходы, декоративность готовой арки и неспособность конструкции нести нагрузки.
Обустройство арочных конструкций существенно усложняется, если перед мастером стоит задача монтажа арки над большим просветом (до нескольких метров) или арки, способной выдерживать высочайшие нагрузки. В связи с тем, что на строительном рынке трудно найти материалы, размеры которых позволяют осуществить монтаж такой арки, она конструируется как наборная конструкция, состоящая из нескольких деталей. В связи с этим, перед мастером встает задача точного расчета арки и определения размеров ее деталей.
Как уже упоминалось ранее, арки различают в соответствии с такими параметрами, как форма, размер и высота, и прежде, чем реализовать проект расчета деревянной арки, необходимо четко представлять себе конструкцию и приблизительные размеры желаемой арки. С учетом данных параметров, легче определиться с выбором материалов для ее монтажа и последующим проведением расчетов.
Дилетанты, услышав словосочетание «расчет арки» зачастую пугаются, однако расчеты в данном случае несложные и основаны на использовании школьных формул из геометрии. Кроме того, чтобы облегчить проведение расчетов, необходимо начертить на миллиметровой бумаге контур арки в несколько уменьшенном масштабе. После этого изготавливают шаблон арки в реальном размере, имея который, вы сможете наиболее эффективно провести дальнейшие расчеты, так как сможете приложить так называемую копию арки к месту ее монтажа и оценить правильность проведенных расчетов. Для изготовления шаблона можно использовать плотный картон, фанеру или лист ДВП.
Арочные конструкции занимают обширную нишу в архитектуре, и их использование – широчайшая тема, объять которую невозможно в одной статье. В настоящем материале мы рассмотрим изготовление арки в квартире или частном доме, так как традиционный прямоугольный проем, оформленный в виде арки, станет эксклюзивной деталью интерьера квартиры, выгодно отличающей ее от других квартир.
Рассмотрим пример расчета трехшарнирной арки:
В большинстве случаев, независимо от опыта мастера, ему известны три параметра арки, среди которых ширина пролета, перекрываемого аркой, высота арки, а также глубина (ширина) стены. Перед мастером при этом стоит задача рассчитать параметры деталей арки, собрать их в единую арочную конструкцию и прочно закрепить ее.
Способ № 1 — эмпирический
Несмотря на то, что любой расчет арки начинается с вычисления радиуса ее окружности, арка не всегда представляет дугу окружности. Существуют ситуации, когда арка состоит из двух дуг (это относится к аркам, выполненным в готическом стиле) или характеризуются несимметричными очертаниями. В этом случае расчет каждой дуги арки производится отдельно. Но, вернемся к расчету окружности арки. Его удобнее производить на бумаге, при этом уменьшив размер, в масштабе, например, 1: 50. Подготовив бумагу и циркуль, чертим на листе дверной проем с учетом масштаба и проводим ось симметрии, делящую проем пополам. После этого ось циркуля необходимо изменить, поставив ножку с иглой непосредственно на ось симметрии. Далее нужно начертить несколько дуг и, остановив свой выбор на наиболее оптимальной, остальные убрать с помощью ластика.
Чтобы нагляднее продемонстрировать данный пример, изобразим дугу арки:
где R – радиус окружности арки, а L представляет собой половину хорды дуги, тогда как размер хорды соответствует длине арочного просвета. Что касается H, то данный показатель отображает высоту подъема арки.
Способ № 2 — математический
Чтобы осуществить математический расчет радиуса окружности арки, воспользуйтесь теоремой Пифагора, в соответствии с которой:
R= L2 + (R2 — h3)
R= L2 + (R — H)2
Разложив двучлен, преобразуем выражение в вид:
R2 = L2 + R2 – 2HR + h3
Вычтем из обеих частей R и получим:
L2 + h3 — 2HR = 0
Перенесем слагаемое с R за знак равенства:
2RH = L2 + h3
И, наконец, получим искомый R:
R = (L2 + h3)/ 2H
Важно! Формула для вычисления радиуса окружности арки: R = (L2 + h3)/ 2H, где R – радиус окружности арки, H – высота подъема арки, L – половина хорды дуги (длина арочного просвета).
В связи с тем, что арка состоит из нескольких частей, для изготовления которых придется использовать доску определенной ширины, произведем расчет размеров детали, которую можно изготовить из доски с конкретными размерами. Для этого необходимо решить обратную задачу. С учетом известного радиуса арки и высота ее подъема (в данном случае это ширина доски), рассчитаем максимально возможную длину детали, которую можно изготовить из доски с определенной шириной, то есть произведем расчет длины арки. В связи с тем, что из предыдущих расчетов нам уже известны определенные соотношения, выведем следующую формулу:
L2 = 2RH – h3
HR – h3
Чтобы правильно изготовить арку, необходимо подготовить несколько больше деталей, с учетом того, что в процессе монтажа их придется стыковать. Способ стыковки выбирается в зависимости от назначения арки. Практикуется использование накладных деталей по «щекам» арки и стыковка двух арок, с учетом сдвига на полдетали.
В процессе расчета деталей необходимо учитывать то, какая сторона арки, в зависимости от ее расположения по отношению к деталям, больше всего нас интересует (внутренняя или внешняя). Проще говоря, нам необходимо понять, как будут располагаться несущие детали арки по отношению к самой арке. Например, при обустройстве куполообразной кровли, несущие детали арочной конструкции будут располагаться ниже арки, а при монтаже арочного свода – выше. Возникают ситуации, когда необходимо обустроить двустороннюю арку. В последнем случае расчет деталей арки произведет по наименьшему закруглению.
Если в процессе эксплуатации, арка будет нести высокие нагрузки, необходимо произвести ее усиление с помощью различных балок и затяжек, установленных между узлами арки. Таким образом, вы сможете обустроить несущую ферму, которая способна выдержать повышенные нагрузки.
Если вы решили обустроить арку в готическом стиле, вам необходимо максимально точно определить радиус закругления арки на концах. В этом случае вы облегчите себе задачу, используя эмпирический способ расчета арки, с помощью которого вы экспериментальным путем подберете точку закругления арки, далее из этой точки вниз проведете линию, идущую параллельно стене, измерите полученное расстояние и проведете линию такой же длины с другой стороны. Затем ножку циркуля ставят на эту линию, определяют расстояние (радиус) и, двигаясь вниз или вверх параллельно линии, определяют точку, где линия стены и дуга арки сомкнутся посредством второй (меньшей) дуги. На второй стороне чертежа необходимо произвести то же самое.
Чтобы облегчить себе задачу и максимально эффективно произвести расчет арки, вы можете сделать несколько чертежей и выбрать наиболее подходящий. Как вы уже поняли, приведенные примеры расчета арки далеко не единственные, и существуют другие способа расчета, однако эмпирический способ наглядно вам демонстрирует, как будет выглядеть арка после осуществления монтажа. Кроме того, в процессе осуществления расчетов вы сможете легко корректировать чертеж до тех пор, пока не достигнете желаемого результата.
Сделав чертеж и удостоверившись в его правильности, необходимо изготовить шаблон арки, используя который, вы без труда осуществите монтаж любой арочной конструкции.
Несколько слов о выборе материала для арки
Для изготовления арки можно использовать различные материалы, в том числе и металл (расчет металлической арки производится несколько иначе), а также кирпич и бетон, однако наиболее простым и дешевым способом является изготовления арки из гипсокартона. В связи с тем, что арка, изготовленная из кирпича и бетона, будет очень тяжелой, для нее необходимо монтировать арматурный каркас. Арматура легко поддается сгибанию, и вы без труда сможете сварить из нее каркас. После этого, используя перфоратор, в стенах необходимо просверлить отверстия, вбить в них штыри и приварить к ним арочный каркас.
Изготовление арки из гипсокартона осуществляется намного проще и быстрее, однако готовая конструкция будет менее прочной, чем ее кирпичные или бетонные аналоги. Для этого необходимо изготовить каркас из жестяных профилей, по бокам обшить их гипсокартоном, а для обшивки внутреннего проема использовать сегменты(для их изготовления гипсокартон разрезают с одной стороны, выгибают и в заключение закрепляют саморезами). Образовавшиеся грани необходимо сгладить шпаклевкой.
Расчет кирпичной арки: основные моменты
Чтобы осуществить расчет кирпичной арки, также необходимо изготовить шаблон из ДВП, качество которого во многом определяет эксплуатационные характеристики и внешний вид будущей кирпичной арки. В первую очередь необходимо рассчитать размеры шаблона, для чего потребуется знание ширины арочного проема. Например, ширина арочного проема составляет 15000 мм.
Так как ширина шаблона должна быть на 5 мм меньше, значит, она составит 1495 мм. Даже если произойдет разбухание шаблона от влаги, вы сможете без труда осуществить его демонтаж на финальных стадиях работы. Высота шаблона должна соответствовать высоте арки, в нашем случае пусть будет 168 мм. Так как целый лицевой кирпич рекомендуется класть в верхней части арки, необходимо произвести расчет числа кирпичей. Так как высота одного ряда составляет около 72 мм (высота кирпича + высота шва), а общее число рядов равно 4, арочная высота составляет 72*4 – 120 = 168мм. (120мм при этом – высота кирпича, уложенного на ребро).
И в заключение
Чаще всего монтаж арочных конструкций осуществляется для декоративного оформления помещения, независимо от его предназначения. Это может быть и дом, и квартира, и офис.
Зачастую с помощью арки оформляют дверной проем между кухней и гостиной. Однако монтаж арки может использоваться и в процессе более масштабных видов строительства. Если вы планируете оформить с помощью арки внутреннее убранство помещения, специалисты рекомендуют изготовить арочную конструкцию из гипсокартона, так как это намного дешевле, проще и менее трудозатратно. При этом готовая конструкция ничуть не уступит аркам из кирпича или дерева. Чтобы не разочароваться в красоте и правильности арки, специалисты рекомендуют подойти к монтажу арочной конструкции с должной тщательностью и провести расчет арки, что можно осуществить несколькими способами. В нашей статье мы предложили вам два наиболее распространенных и эффективных способа расчета арки, воспользовавшись которыми, вы сможете соорудить надежную и эстетически привлекательную арку.
Расчет трехшарнирных систем — Лекции и примеры решения задач технической механики
Рассмотрим общий порядок расчета внутренних силовых факторов в трехшарнирных системах.
Решение традиционно начинается с расчета реакций в опорах.
Определение опорных реакций
При действии внешней нагрузки (сосредоточенных сил Рi, и распределенных нагрузок qi) на трехшарнирные системы, в каждой из опор возникают по две реакции: вертикальные — VA (YA), VB (YB) и горизонтальные (распор) – НA(XA), НB(XВ) (рисунок 3.27).
Определение опорных реакций в таких системах производится с помощью составления уравнений равновесия.
Рисунок 3.27 – Трехшарнирная арка
Наряду с тремя основными уравнениями статики для всей системы:
необходимо записать четвертое уравнение, выражающее условие равенства нулю изгибающего момента Мс в замковом шарнире «С»:
Определение опорных реакций таким способом довольно затруднительно, так как в ряде случаев приходится решать систему из четырех линейных уравнений.
При действии на трехшарнирную конструкцию только обычной вертикальной нагрузки, определение опорных реакций несколько упрощается.
Рассмотрим определение опорных реакций при действии только вертикальной нагрузки на примере трехшарнирной арки.
Арка с опорными шарнирами, расположенными на одном уровне
Рисунок 3.28 – Пример расчета трехшарнирной арки
Для определения опорных реакций VA, VB, НA, НB в арке составим упомянутые выше уравнения равновесия:
Получаем, что выражение для опорной реакции VB в арке совпадает с аналогичным выражением в балке на двух шарнирных опорах того же пролета загруженной той же вертикальной нагрузкой.
Воспользуемся нулевым индексом для обозначения величин, характеризующих эту простую балку.
2) Опорную реакцию VA можно определить из условия ∑Yi= 0
или ∑МB=0;
∑МB= 0; VA× L − ∑Рi ×
bi =0; VA = (Рi × bi) / L = VAo
Делаем такой же вывод: определение VB аналогично определению VB°.
∑хi = 0; НA− НB= 0; НA= НB = Н.
При действии лишь вертикальной нагрузки Рi, горизонтальные опорные реакции (распор) равны между собой.
3) Для определения величины распора Н от действия внешней нагрузки составим четвертое уравнение:
Построим для приведенной схемы простой балки эпюру М, на которой величина момента под шарниром «С» равна:
Мc0=VA× L/2 −∑Рi × (L/2−ai) − H×f = 0
Следовательно, последнее уравнение равновесия, выраженное через момент М, будет иметь вид: Мc0 −H×f = 0, H = Мc0/ f.
Таким образом: величина распора арки (рамы) при действии вертикальной нагрузки равна балочному моменту в сечении под замковым шарниром «С», уменьшенному в f раз.
Полученная формула справедлива при действии вертикальных сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, как в арках, так и в трехшарнирных рамах.
Если трехшарнирная система имеет приподнятую затяжку, то претерпевает изменение только знаменатель:
H = Мc0/ (f-t),
где t — расстояние от оси затяжки до линии, соединяющей опорные шарниры (рисунок 3.29)
Рисунок 3.29 – Трехшарнирная рама с затяжкой
Расчет внутренних усилий
Определим величину и направление внутренних силовых факторов в трехшарнирной арке при действии вертикальной нагрузки
Для составления выражений внутренних усилий в трехшарнирной арке рассмотрим равновесие ее отсеченной части, расположенной слева от сечения.
а) Выражение для изгибающего момента Мк
Рисунок 3.30 – Отсеченная левая часть арки
τ − ось, касательная к очертанию арки в точке «К»;
σ- ось, перпендикулярная к оси в точке «К»;
М, Q, N — внутренние усилия, направленные согласно соответствующим правилам знаков.
Составим уравнение равновесия для отсеченной части относительно точки «К»:
∑Мк = 0; VA × xк−∑ Рi × (xк − ai) − H × yк − Мк= 0.
Выделяя из этого уравнения Мк и учитывая, что:
VA × xк−∑ Рi × (xк − ai) = Мкo,
получим:
Мк= Мкo − H × yк
Анализируя это выражение можно заметить, что арочные системы рациональнее балочных, вследствие некоторого уменьшения величины балочного момента М за счет возникающего распора Н.
б) Выражение для поперечной силы Qк
Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось:
∑ σi = 0: −Qк + (VA−∑ Рi) × Соs αк− Н × Sinαк = 0;
Выделяя Qк, с учетом того, что VA − Рi = Qко, окончательно получим:
Qк = Qко × Соs αк − Н × Sinαк.
в) Выражение для продольной силы Nк
Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось:
∑ τi= Nк + Н × Соs αк + (VA−∑ Рi) × Sinαк= 0;
Выделяя Nк, с учетом того, что VA − Рi = Qко, окончательно получим:
Nк = − Qко × Sinαк − Н × Соs αк.
Рациональное очертание для трехшарнирной арки
Рациональным очертанием оси арки является такое, при котором момент в любом ее сечении равен нулю.
Так в предыдущем пункте, при действии вертикальной нагрузки, нами было получено следующее выражение для момента: Мк= Мкo − H × yк
Положив это выражение равным нулю и выделяя выражение для ординаты yк, будем иметь:
yк = Мкo / Н = Мкo × f / Мco
Анализ полученной формулы показывает:
− уравнение рациональной оси арки определяется видом нагрузки;
− при вертикальной нагрузке ось арки будет рациональной, если ее очертание меняется по закону изменения балочного момента.
Рассмотрим пример по определению рационального очертания арки, загруженной по длине равномерно распределенной нагрузкой.
Для произвольного сечения «К» с координатами yк, xк имеем: yк = Мкo / Н
Рассматривая равновесие по моментам левой отсеченной части, получим: М (x) = q × L × x/ 2 − q × x2/ 2
Рисунок 3.31 – Определение рационального очертания оси арки
Таким образом, рациональной осью для арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой по всему пролету является квадратная парабола.
Это объясняется тем, что постоянная нагрузка на арку и ее собственный вес составляют большую долю от общей нагрузки.
Как известно, эти виды нагрузок близки к равномерно распределенным.