Расчет балка на двух опорах – Расчет балки на прогиб ℹ️ построение эпюр, формулы, параметры расчетов, определение максимальной нагрузки и изгиба, примеры решения задач, онлайн-калькулятор

Содержание

Расчет опорных реакций балки на двух опорах онлайн

Расчет выполняется по следующей методике:

1. Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей, которая является сосредоточенной силой. Для равномерно распределенной нагрузки равнодействующая равна произведению интенсивности нагрузки q на длину участка L, на котором она действует: Fq = q*L.

2. Обозначаем опоры. Общепринято их обозначать буквами А и В. Простая балка имеет одну шарнирно-неподвижную и одну шарнирно-подвижную опоры.

3. Освобождаемся от опор и заменяем их действие на балку реакциями.
Реакции опор при такой нагрузке будут только вертикальными.

4. Составляем уравнения равновесия вида:
MA = 0; MB = 0,
Моментом силы относительно точки называется произведение этой силы на плечо — кратчайшее расстояние от этой точки приложения силы (в общем случае — до линии действия силы).

5. Выполним проверку решения. Для этого составим уравнение равновесия: Y = 0,
Если оно удовлетворено, то реакции найдены правильно, а если нет, но в решении допущена ошибка.

6. Строим эпюру поперечных сил Qx. Для этого определяем значения поперечных сил в характерных точках. Напомним, что поперечная сила в сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных только слева или только справа от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную оси элемента. Силу, расположенную слева от рассматриваемого сечения и направленную вверх, считают положительной (со знаком «плюс»), а направленную вниз — отрицательной (со знаком «минус»). Для правой части балки — наоборот.

В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных сил, в том числе в точках приложения опорных реакций, необходимо определить два значения поперечной силы: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Поперечные силы в этих сечениях обозначаются соответственно Qлев и Qправ.
Найденные значения поперечных сил в характерных точках откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются прямыми линиями по следующим правилам:
а) если к участку балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой линией, параллельной нулевой линии;
б) если на участке балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой, наклонной к нулевой линии. Она может пересекать или не пересекать нулевую линию.
Соединив все значения поперечных сил по указанным правилам, получим график изменения поперечных сил по длине балки. Такой график называется эпюрой Qx.

7. Строим эпюру изгибающих моментов Мx. Для этого определяем изгибающие моменты в характерных сечениях. Напомним, что изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен сумме моментов всех сил (распределенных, сосредоточенных, в том числе и опорных реакций, а также внешних сосредоточенных моментов), расположенных только слева или только справа от этого сечения. Если любое из перечисленных силовых воздействий стремится повернуть левую часть балки по часовой стрелке, то оно считается положительным (со знаком «плюс»), если против — отрицательным (со знаком «минус»), а для правой части наоборот.

В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных моментов, необходимо определить два значения изгибающего момента: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Изгибающие моменты в этих точках обозначаются соответственно Млев и Мправ. В точках приложения сил определяется одно значение изгибающего момента.
Полученные значения откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются в соответствии со следующими правилами:
а) если на участке балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком балки два соседних значения изгибающих моментов соединяются прямой линией;
б) если к участку балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения изгибающих моментов для двух соседних точек соединяются по параболе.

Пример решения балки:

Расчёт балки бесплатно онлайн


Закрыть

Примечание. Иллюстрации в отчёте сформированы шириной в 420px (диалог «Настройки»).

Исходные данные

L = 10м;
q = 12кН/м;
M = 15кН·м;
F = 19кН.
Рис. 1. Исходная схема

Расчёт

Рис. 2. Схема реакций
Рис. 3. Эпюра Qy, кН (поперечная сила)
Рис. 4. Эпюра Mx, кН·м (изгибающий момент)

1. Определение реакций опор

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fy = -q·7м — F + YA + YB = 0;

∑MA = -q·7м·3.5м + M — F·10м + YB·7м = 0.

Решение уравнений статики даёт следующие значения реакций:

YA = 36кН;

YB = 67кН.

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 7м)

Qy = YA — q·z1;

при z1 = 0; Qy = 36кН.

при z1 = 7м; Qy = -48кН.

Mx = YA·z1 — q·z12/2;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 3м; Mx = 54кН·м.

при z1 = 7м; Mx = -42кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 3м)

Qy = F = 19кН.

Mx = M — F·z

2;

при z2 = 0; Mx = 15кН·м.

при z2 = 3м; Mx = -42кН·м.


Закрыть


Расчетные схемы для балок. Расчёт шарнирно-консольных балок на постоянную и подвижную нагрузки

Балка — это стержень или брус, работающий преимущественно на изгиб. Статически определимые балки разделяются на следующие типы (рис. 1.8):

    простые балки — балки на двух опорах по концам;

    консольные — балки на двух опорах со свешивающимися концами или консолями;

    консоли — балки, защемлённые одним концом;

    шарнирно-консольные балки, составленные из двух или нескольких последовательно расположенных балок, концы которых связаны между собой шарнирами.

Рис. 1.8. Различные типы балок: а – простая балка; б – консольная балка; в – консоль; г – шарнирно-консольная балка

Расстановка шарниров в многопролётной балке должна быть произведена так, чтобы она была статически определимой и геометрически неизменяемой:

    в каждом пролёте должно быть размещено не более двух шарниров;

    пролёты с двумя шарнирами должны быть размещены не менее чем через пролёт;

    пролёты с одним шарниром могут следовать один за другим, если в системе есть одна неподвижная балка.

Консоль, простая балка и балка с консолями — это геометрически неизменяемые и статически определимые системы.

Длина консоли называется вылетом консоли, а длина простой балки – пролётом.

1.6. Порядок расчёта шарнирно-консольных балок

    Подсчитывают степень свободы системы.

    Проводят анализ геометрической неизменяемости системы. Изображают схему взаимодействия элементов шарнирно-консольной балки, то есть поэтажную схему, для чего мысленно разъединяют элементы балки, разделив их на основные или главные, которые могут самостоятельно воспринимать внешнюю нагрузку, и второстепенные или присоединённые, которые не могут работать самостоятельно, а должны опираться на основные балки в соответствии с рисунком 9.

    Аналитический расчёт шарнирно-консольных балок начинают со второстепенной балки самого верхнего этажа. Построив для верхней балки эпюры изгибающихся моментов и поперечных сил, прикладывают реакцию опоры на нижележащую балку с обратным направлением и рассчитывают её. Последней рассчитывается опорная балка.

Признаки основной и второстепенной частей:

    если разрушается основная часть, то разрушается вся система;

    при разрушении второстепенной части, основная или главная остаётся без изменения.


Рис. 1.9. Поэтажные схемы шарнирно-консольных балок

Контрольные вопросы

    Почему недопустимы системы, близкие к мгновенно изменяемым?

    Для чего проводится кинематический анализ систем?

    Как проверить статическую определимость и геометрическую неизменяемость многопролетной статически определимой балки?

2. Расчёт сооружений на подвижную нагрузку

При расчёте сооружения на подвижную нагрузку: движущийся поезд, автомобиль – пользуются линиями влияния (лв).

Линия влияния – это график, показывающий закон изменения того или иного усилия: реакции, момента, поперечной силы – в определённом или фиксированном сечении сооружения при перемещении по его длине груза F=1.

Ордината линии влияния показывает величину усилия, для которого построена ЛВ, когда груз F=1 стоит над этой ординатой на сооружении.

Ординаты линий влияния R и Q безразмерны, а линии влияния М выражаются в метрах.

Сравнение линий влияния и эпюр какого-либо усилия J приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Сравнение линии влияния и эпюр

Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких — приведены все формулы определения необходимых значений.

Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).

Оранжевые ячейки — максимальные значения.

Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки — максимальные значения.

Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.

Рис.1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке


Рис.2 Расчет балки на двух шарни

Представлены расчетные схемы, различные виды действующих нагрузок, эпюры сил, отображающие характер изменения касательных напряжений, эпюры изгибающих моментов, отображающие характер изменения нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, а также формулы для определения опорных реакций, действующего изгибающего момента, максимального изгибающего момента, формулы для определения прогиба балки на расстоянии х от начала балки и формулы для определения максимального прогиба балки, а также формулы для определения тангенса угла поворота поперечного сечения на опорах и на концах — для консольных балок. Классификация производилась не по действующим нагрузкам, а по виду опор балки. В данном разделе представлены статически определимые балки.

Ось х , относительно которой производятся расчеты изгибающего момента и прогиба, соответствует продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечных сечений балки. Значение момента инерции I следует определять относительно оси z .

Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота.

В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:

θ х = — θ A + Мх/EI + Ax 2 /2EI — qx 3 /6ЕI

например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка осутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0

θ х = — θ A + Ax 2 /2EI = — Ql 2 /16EI + Qx 2 /4EI = Q(4x 2 — l 2)/16EI

Соответственно в общем виде уравнение для определения прогиба выглядит так:

f х = — θ A x + Мх 2 /2EI + Ax 3 /6EI — qx 4 /24ЕI

для той же шарнирной балки на участке от начала балки до точки приложения силы (0

f х = — θ A x + Ax 3 /6EI = — Ql 2 x/16EI + Qx 3 /12EI = Qx(4x 2 — 3l 2)/48EI

На участке от точки приложения силы до конца балки (l/2

f х = — θ A x + Ax 3 /6EI — Q(x — l/2) 3 /6EI

Эпюры углов поворота и прогибов поперечного сечения по длине балки не приводятся. Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси у .

Представленные расчетные схемы позволяют рассчитать балку практически при любом возможном виде нагрузки. Если на балку действует несколько различных нагрузок, то можно производить отдельный расчет для каждой схемы загружения, а затем полученные результаты сложить (с учетом знаков). Это правило называется принципом суперпозиции и в некоторых случаях значительно упрощает общий расчет, а также экономит уйму времени на поиск в сети подходящей расчетной схемы.

1. БАЛКА НА ДВУХ ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ

2. КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА

3. БАЛКА НА ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ С КОНСОЛЯМИ

Расчетные схемы для статически неопределимых балок .

Расчет балки онлайн

Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких — приведены все формулы определения необходимых значений.

Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки —  максимальные значения.

>>> Перейти к расчету балки на двух опорах <<<

Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки —  максимальные значения.

>>> Перейти к расчету консольной балки <<<

Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.

Расчет балки на двух шарнирных опорах (Q) 

Рис.1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке

 

Расчет балки на двух шарнирных опорах (Q+Q)

Рис.2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках

 

Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис.3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

 

Расчет балки на двух шарнирных опорах (неравномерная q)

Рис4. Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

 

Расчет балки на двух шарнирных опорах (М) 

Рис5. Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента

Расчет балок с жестким защемлением на двух опорах

Расчет балки с жестким защемлением на опорах (Q)

Рис6. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке

 

Расчет балки с жестким защемлением на опорах (Q+Q)

Рис7. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках

Расчет балки с жестким защемлением на опорах

Рис8. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

Расчет балки с жестким защемлением на опорах (неравномерная q)

Рис9. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Расчет балки с жестким защемлением на опорах (M)

Рис10.Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента

Расчет консольных балок

Расчет консольной балки (Q)

Рис11. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке

Расчет консольной балки

Рис12. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке

Расчет консольной балки (неравномерная q)

Рис13. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузкеРасчет консольной балки (M)

Рис14. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента

Расчет двухпролетных балок

Расчет двухпролетной балки (Q)

Рис15. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке

Расчет двухпролетной балки

Рис16. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке

Расчет двухпролетной балки (неравномерная q)

Рис17. Расчет двухпролетной  балки с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке

 

 


Расчет балок онлайн. Примеры расчета

Расчет балки различается в зависимости от того, является она статически определимой, либо статически неопределимой. На сайте производится расчет любых балок, но подробное решение расписывается только для статически определимых балок, не имеющих промежуточных шарниров.

Балка на двух опорах. Построение эпюр

Для этого типа балок сервис позволяет определить и подробно расписывает:

  • реакции опор
  • эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (эпюры Q и M)
  • подбор сечений — двутавр, прямоугольник, круг, квадрат, труба
  • строятся эпюры нормальных и касательных напряжений
  • по уравнениям метода начальных параметров вычисляются прогибы и углы поворота. Записываются и сами уравнения метода начальных параметров по участкам.

Посмотреть пример »

Расчет балки на двух опорах

Консольная балка. Построение эпюр.

Для этого типа балок сервис позволяет определить и подробно расписывает:

  • построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
  • подбор сечений — двутавр, прямоугольник, круг, квадрат, труба
  • строятся эпюры нормальных и касательных напряжений
  • вычисляются прогибы и углы поворота.

Посмотреть пример »

Расчет консольной балки

Статически неопределимая балка. Подбор сечения.

Для такого типа балок Вы можете получить

  • только результаты расчета — (эпюры Q и M).

Естественно, по этим эпюрам можно легко найти реакции опор. Подробный ход расчета не расписывается, но, имея результаты, Вы легко можете проверить все промежуточные итоги своего расчета.

Посмотреть пример »

Статически неопределимая балка

Балка с промежуточными шарнирами

Расчет балки с промежуточными шарнирами Вы должны производить, скорее всего, методом построения поэтажной схемы. Сервис, опять же, дает только конечный результат, но его наличие, естественно, очень упрощает проверку промежуточных этапов решения заданий.

 

Посмотреть пример »

Балка с промежуточнми шарнирами

Определение опорных реакций двухопорной балки

Условие задачи

Для заданной двухопорной балки с консольной частью, нагруженной комплексом нагрузок: силой F, моментом m и распределенной нагрузкой q, определить величину и направление опорных реакций.

Расчетная схема балки показана на рис.1

рис.1

Длина пролета балки 3м. Длина консольной части – 1,5м.

Пример решения

Рекомендуем посмотреть наш видеоурок. В нем мы постарались подробно показать порядок расчета реакций в опорах балки.

Определение реакций в опорах балки

Не забудьте поставить лайк и подписаться на наш канал 🙂

Для решения задачи, обозначим характерные точки (сечения) балки (точки A, B, C и D) и определим положение системы координат y-z, выбрав ее начало например в т. A (рис.2)

рис.2

Обе опоры балки являются шарнирными, поэтому в каждой из них будет возникать только сила, обозначим их соответственно RA и RC

Короткое видео про реакции в шарнирных опорах

Пример расчета реакций опор для консольной балки

Так как все заданные нагрузки раположены исключительно в вертикальной плоскости (плоский поперечный изгиб) и не дают проекций на ось z, то опорные реакции будут тоже только вертикальными.

Вообще говоря, реакции в опорах являются такими силами, которые необходимы для удержания балки с приложенными к ней нагрузками, в статичном (неподвижном) состоянии. В данном случае эти силы не позволяют ей вращаться и перемещаться в вертикальной плоскости.

Данная балка является статически определимой, т.к. уравнений равновесия достаточно для определения неизвестных усилий в опорах балки.

Для составления уравнений статики, опорные реакции RA и RC предварительно направляются произвольно, например, вверх (рис.3).

рис.3

Для определения двух неизвестных реакций потребуется два уравнения.

Запишем уравнения статики:

  1. Балка не перемещается по вертикали, т.е. сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
  2. Тот факт, что балка не вращается, говорит о том, что сумма моментов относительно любой ее точки тоже равна нулю, т.е.: В данном уравнении, согласно правила знаков для моментов, сосредоточенные силы, моменты и распределенные нагрузки стремящиеся повернуть балку против хода часовой стрелки относительно рассматриваемой точки A записываются положительными и наоборот.
    Как записывается момент распределенной нагрузки показано здесь.
    Сила приложенная в точке относительно которой рассматривается сумма моментов в уравнении не участвует, так как плечо момента для нее равно нулю.

Здесь сумму моментов лучше записывать относительно точки расположенной на опоре (например, A), т.к. в этом случае соответствующая реакция RA в уравнении не участвует.

Из выражения (2) определяем RC:

и подставив его в выражение (1) находим RA:

Направление и величина реакций, как правило, необходимы для дальнейших расчетов балки на прочность и жесткость, поэтому во избежание возможных ошибок рекомендуется выполнять проверку найденных значений.

Проверка опорных реакций балки >
Построение эпюр Q и M для балки >
Другие примеры решения задач >


Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *